Die Anzahl der "zu Infizierenden" , also die, die überhaupt infiziert werden können, kennt derzeit niemand. Seien es die oft genannten 60%, dann sind das in Dtl. ca. 50 Millionen Menschen, das sei N. Davon ist aktuell nur ein kleiner Teil infiziert, nennen wir den NI, dann können wir das Verhältnis der bereits Infizierten zu den "Infektanden" mit einer reellen Zahl p angeben, also : p = NI/N. (Im Moment liegt p unter 1/1000). Dann berechnet sich der Anstieg dieser Zahl p als Funktion der Zeit mit:
(1) dp/dt = k*p*(p-1) ; Ausrechnung der Klammer (1a) dp/dt = k(p-p²)
mit der Anfangsbedingung p>0, und p kann nicht negativ werden, da dazu p>1 werden müsste; vorher aber wird dp/dt gegen Null streben. Die Konstante k ist ein Skalierungsfaktor k>0 .
Wann erreicht der Anstieg, also dp/dt ein Maximum, bei welchem p = pmax? => Zweite Ableitung bilden mit (1a) : (2) d²p/dt² = k(1-2p) ; für das Maximum von dp/dt muss die zweite Ableitung verschwinden: (3) d²p/dt² = k(1-2p) == 0; die Klammer muss also verschwinden; 1-2p == 0 oder: pmax = 1/2
Also ist für N = 50 Mill die maximale Anzahl an Neuinfizierten bei 25 Millionen bislang Infizierter erreicht. Wie groß kann die Zahl Neuinfizierter werden? Dazu müssten wir k bestimmen oder zumindest schätzen. Angenommen, diese Zahl sei 0.1 bzw 10%. Das wären am Anfang der Epidemie pro Tag 10% neue Fälle bezogen auf die bereits Infizierten. Bei pmax, also p = 0.5, berechnet sich dp/dt = 0,1 * 0,5 * 0,5 = 0,025 = 1/40.
Bezogen auf N = 50 Mill. sind das 1,25 Mill. Neuinfizierte an einem Tag. Rechnet man mit einer Quote von 2% beatmungspflichtiger Patienten, wären das 25.000 . Ab diesem Tag wäre man "aus dem Gröbsten raus" - die Zahl der Neuzugänge würde abnehmen. Aber die Zahlen sind viel zu groß, das Gesundheitssystem wäre schon vor Erreichen von pmax längst gesprengt.
Soweit eine kleine math. Betrachtung zur Dynamik der Epidemie auf der Basis eines qualifizierten bayerischen Hauptschulabschlusses. Um weitere Aufschlüsselung zu erhalten, müsste man die Differentialgleichung (1) lösen als Funktion der Zeit - was auch nicht übermäßig aufwendig ist. (Hinweis: Man erhält zunächst die Zeit als Funktion von p ....) |